в Новости

Математики обнаружили задачу машинного обучения, которую нельзя решить

Spread the love

Математики обнаружили проблему которую не могут решить. Дело не в том, что они недостаточно умны; у задачи просто нет ответа.

Проблема связана с машинным обучением — типом моделей искусственного интеллекта, которые используют некоторые компьютеры, чтобы «научиться» выполнять определенную задачу.

Когда Facebook или Google узнают вашу фотографию и предлагают вам пометить себя, они используют машинное обучение. Когда машина с автопилотом движется по оживленному перекрестку, это машинное обучение в действии. Нейробиологи используют машинное обучение, чтобы «читать» чьи-то мысли. Дело в том, что машинное обучение основано на математике. И в результате математики могут изучать это и понимать на теоретическом уровне. Они могут найти доказательства, как работает машинное обучение, и применять при каждой возможности.

В данном случае команда математиков разработала задачу машинного обучения, которая называется «оценка максимума» или «EMX» (estimating the maximum).

Чтобы понять, как работает EMX, представьте себе следующее: вы хотите разместить рекламу на веб-сайте и максимально увеличить количество посетителей, на которые будут направлены эти объявления. У вас есть реклама для фанатов спорта, любителей кошек, фанатиков автомобилей, любителей физических упражнений и т.д. Но вы заранее не знаете, кто собирается посетить сайт. Как выбрать подборку объявлений, которая увеличит количество целевых зрителей? EMX должен выяснить ответ с небольшим количеством данных о том, кто посещает сайт.

Затем исследователи задали вопрос: когда EMX может решить проблему?

В других задачах машинного обучения математики обычно могут сказать, можно ли решить проблему обучения в конкретном случае на основе имеющегося у них набора данных. Может ли основной метод, который Google использует для распознавания вашего лица, быть примененным для прогнозирования тенденций на фондовом рынке? Я не знаю, но кто-то может.

Проблема в том, что математика сломана. Она была сломана с 1931 года, когда Курт Гедель опубликовал свои знаменитые теоремы о неполноте. Они показали, что в любой математической системе есть определенные вопросы, на которые нельзя ответить. Они не сложны — они непостижимы. Математики узнали, что их способность понимать вселенную была существенно ограничена. Гедель и другой математик по имени Пол Коэн нашли такой пример: континуум -гипотеза.

Континуум-гипотеза звучит следующим образом: математики уже знают, что существуют бесконечности разных размеров. Например, существует бесконечно много целых чисел (таких как 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.); и существует бесконечно много действительных чисел (которые включают числа как 1, 2, 3 и т.д., но они также включают числа как 1.8 и 5222.7 и Pi). Но даже если существует бесконечно много целых чисел и бесконечно много действительных чисел, то последних явно больше, чем целых чисел. Возникает вопрос: существуют ли бесконечности больше, чем набор целых чисел, но меньше, чем набор действительных чисел? Гипотеза континуума говорит, что да, есть.

Гедель и Коэн показали, что невозможно доказать, что континуум-гипотеза верна, но также невозможно доказать, что она не верна. «Является ли гипотеза континуума верной?» это вопрос без ответа.

В статье, опубликованной в понедельник, 7 января, в журнале Nature Machine Intelligence, исследователи показали, что EMX неразрывно связан с континуум-гипотезой.

Оказывается, EMX может решить проблему, только если континуум-гипотеза верна. Но если это не так, EMX не может. Это означает, что вопрос «Может ли EMX научиться решать эту проблему?» Имеет такой же непостижимый ответ, как и сама гипотеза континуума.

Хорошая новость заключается в том, что решение континуум-гипотезы не очень важно для большинства математиков. И, аналогично, эта постоянная загадка не может создать серьезного препятствия для машинного обучения.

«Поскольку EMX является новой моделью в машинном обучении, мы пока не знаем, насколько она полезна для разработки реальных алгоритмов», — писал профессор математики в Университете Иллинойса в Чикаго Лев Рейзин. «Таким образом, эти результаты могут не иметь практического значения», — писал он.

Рейзин писал, что столкновение с неразрешимой проблемой является своего рода достижением исследователей машинного обучения.

Это доказательство того, что машинное обучение «переросло в математическую дисциплину», писал он.

«Машинное обучение» теперь объединяет множество областей математики, которые связаны с бременем недоказуемости и сопутствующим ему беспокойством», — писал Рейзин. «Возможно, результаты, подобные этому, приведут в область машинного обучения здоровую дозу смирения, даже если алгоритмы машинного обучения продолжают революционировать мир вокруг нас.»

Rafi Letzter, Staff Writer livescience.com

Курт Гёдель

Курт Гёдель доказал что все полные аксиоматические формализации теории чисел включают неразрешимые предложения, а также что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать исходя из самих аксиом арифметики (теорема о неполноте — 1931)

ГЁДЕЛЬ, КУРТ (Gödel, Kurt) (1906–1978), австрийский математик. Родился 28 апреля 1906 в Брно. В 1924 поступил в Венский университет, в 1930 защитил докторскую диссертацию по математике. В 1933–1938 – приват-доцент Венского университета; в 1940 эмигрировал в США. С 1953 и до конца жизни – профессор Принстонского института перспективных исследований.

В 18 лет Гёдель поступил в Венский университет. Там он два года изучал физику, но затем переключился на математику.
Обычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал подданным германского Рейха. По окончании Второй Мировой войны он переселился в США и принял американское гражданство.
К концу жизни у Геделя развилось психическое расстройство — параноидальный страх отравления. Он принимал пищу только из рук жены Адели, а после ее смерти в 1977 г. отказался от пищи. Учёный скончался от недоедания 14 января 1978 г. в Принстоне, штат Нью-Джерси.

Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни не (отрицание) F не являются выводимыми в этой теории.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Континуум-гипотеза

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным
Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2S.